Алгебра кватерніонів Гамільтона у застосуваннях комп'ютерного зору

Abstract

У статті обґрунтовано методичні підходи до вивчення алгебри кватерніонів Гамільтона у контексті її реальних застосувань у комп’ютерному зорі в межах магістерської підготовки здобувачів вищої освіти за предметною спеціальністю А4.04 «Середня освіта (Математика)». Алгебра кватерніонів розглядається не як архаїчна галузь некомутативної алгебри, а як активно діючий математичний інструментарій, що пронизує ключові алгоритми обробки зображень, тривимірної реконструкції та орієнтаційної кінематики в сучасних системах комп’ютерного зору. Особлива увага приділена проблемі «замку кардана» (gimballock) і тому, чому кватерніонне представлення обертань є структурно переважним у порівнянні з матрицями Ейлера у задачах з безперервними просторовими перетвореннями. Розглянуто застосування кватерніонів у задачах оцінки пози камери (cameraposeestimation), зокрема у нейромережевому підході PoseNet, де регресія позиції та орієнтації реалізується через кватерніонний вихідний шар із відповідною геометрично узгодженою функцією втрат. Проаналізовано кватерніонне перетворення Фур’є як інструмент обробки кольорових зображень, де RGB-канали трактуються як компоненти чисто уявного кватерніона, що забезпечує сумісну обробку кольорового вектора як єдиного математичного об’єкта, а не як трьох незалежних сигналів. Представлено концепцію кватерніонних нейронних мереж (QNN), де кватерніонно-значущі ваги та активаційні функції дозволяють знизити розмірність параметрів у 4 рази та природно моделювати просторові перетворення тривимірних об’єктів.